Hasty Generalization

Pembuktian dalam (hampir) semua bidang ilmu selain matematika dibangun berdasarkan hasil sebuah percobaan atau eksperimen. Misalkan saja dalam fisika yang mengatakan bahwa setiap benda di muka bumi jatuh ke bawah (pusat bumi). Berdeda dengan matematika, misalnya untuk menunjukkan bahwa “untuk setiap bilangan nyata x lebih dari 0 dan kurang dari 1, maka x² – x akan kurang dari 0”. Bila kita mengatakan x² – x < 0 untuk semua 0 < x < 1 untuk semua x karena untuk x = 0,5, x = 0,25, dan x = 0,1, nilai x² – x semuanya negatif, kita sudah membuat kesimpulan yang melompat (hasty generalization)².

Apakah kita pernah melakukan hal seperti ini? Mungkin bukan hanya pernah, tapi sering (begitupun juga saya). Berikut salah satu contoh soal lain yang berkaitan dengan induksi matematika.

$Buktikan\; bahwa\; 1^{3}+2^{3}+3^{3}\cdots +n^{3}=\left ( 1+2+3\cdots +n \right )^{2},n\in \mathbb{N}$

Jawab:

Langkah pembuktian pertama:

$Untuk\: n = 1,\: maka$

$1^{3}=1=1^{2}$

$Untuk\: n = 2,\: maka$

$1^{3}+2^{3}=1+8=9=3^{2}=\left ( 1+2 \right )^{2}$

$Untuk\: n = 3,\: maka$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}=1+8+27=36=6^{2}=\left ( 1+2+3 \right )^{2}$

Langkah pembuktian kedua:

Untuk n = k, maka
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +k^{3}=\left ( 1+2+3+\cdots +k \right )^{2}=\left (\frac{k\cdot \left ( k+1 \right )}{2} \right )^{2}$

Akan dibuktikan untuk n = k + 1 , maka

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +k^{3}+(k+1)^{3}=\left ( 1+2+3+\cdots k+\left ( k+1 \right ) \right )^{2}$

Bukti:

$\left ( 1+2+3+\cdots +k \right )^{2}+(k+1)^{3}$

$\left (\frac{k\cdot \left ( k+1 \right )}{2} \right )^{2}+(k+1)^{3}$

$\frac{k^{2}\cdot \left ( k+1 \right )^{2}}{2^{2}}+\left ( k+1 \right )^{3}$

$\frac{k^{2}\cdot \left ( k+1 \right )^{2}}{4}+\frac{{4\cdot \left ( k+1 \right )\cdot \left ( k+1 \right )^{2}}}{4}$

$\left ( k+1 \right )^{2}\cdot \left ( \frac{4\cdot \left ( k+1 \right ) +k^{2}}{4}\right )$

$\frac{\left ( k+1 \right )^{2}\cdot \left (4k+4+k^{2} \right )}{4}$

$\frac{\left ( k+1 \right )^{2}\cdot \left (k+2 \right )^{2}}{4}$

$\left (\frac{\left ( k+1 \right )\cdot \left ( k+2 \right )}{2} \right )^{2}$

$\left (\frac{\left ( k+1 \right )\cdot \left ( \left ( k+1 \right ) +1\right )}{2} \right )^{2}$

$\left (1+2+3+\cdots +k+\left ( k+1 \right ) \right )^{2}\: \: \: \: \: \: \rightarrow \: \: \: \left (terbukti \right )$

Sumber: 2. Susanto, Hadi. 2015. Tuhan Pasti Ahli Matematika!. Yogyakarta: Bentangpustaka.
Sumber gambar: umarberita.blogspot.com

# smp negeri 1 situbondo # smpn 1 situbondo # spensasi

Hasty Generalization

CARA MUDAH DOWNLOAD DI DELAPAN SPENSASI

0 komentar:

Apa Yang Kamu Cari?

Most View