Pembahasan OSN Matematika SMP 2008 No. 4 Hari Pertama

Oleh: Unknown - Kategori: Olimpiade Matematika

http://cdn.niketalk.com/4/4d/900x900px-LL-4de0e9a5_BLACK_P_LOGO.png

Misalkan P adalah himpunan semua bilangan bulat positif antara 0 dan 2008 yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan bulat positif berurutan atau lebih. (Contoh: 11 = 5 + 6, 90 = 29 + 30 + 31 , 100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22. Jadi 11, 90, 100 adalah beberapa anggota P. Tentukan jumlah dari semua anggota

Jawab:

$1\notin P$

$2\notin P$

$3\in P\: \: \: \rightarrow \: \: \: 3=1+2$

$4\notin P$

$5\in P\: \: \: \rightarrow \: \: \:5=2+3$

$6\in P\: \: \: \rightarrow \: \: \:6=1+2+3$

$7\in P\: \: \: \rightarrow \: \: \:7=3+4$

$8\notin P$

$9\in P\: \: \: \rightarrow \: \: \:9=4+5\: \: atau\: \: 9=2+3+4$

$\vdots$

$2007\in P\: \: \: \rightarrow \: \: \:2007=1003+1004$

Dari cara "check" di atas dapat dilihat bahwa bilangan asli yang merupakan pemangkatan 2 bukanlah anggota P. Kita klasifikasikan sebagai berikut:

$X=1+2+3+\cdots +2006+2007$

X merupakan deret aritmetika. Jumlah X dapat ditentukan dengan rumus:

$X=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}=\frac{2007\left ( 2007+1 \right )}{2}=\frac{2007\left ( 2008 \right )}{2}=2015028$

$Y=1+2+4+\cdots + 2^{n}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n}$

$2^{n}<2007\: \: \: \rightarrow \: \: \: 2^{10}<2007$

$Y=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{10}$

Y merupakan deret geometri. Jumlah Y dapat ditentukan dengan rumus:

$Y=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}=\frac{1\left ( 2^{11}-1 \right )}{2-1}=\frac{2048-1}{1}=2047$

Dengan demikian, jumlah dari semua anggota P adalah

$2015028-2047=2012981$

sumber gambar: http://niketalk.com/g/i/5205/black-p-logo-png/

# smp negeri 1 situbondo # smpn 1 situbondo # spensasi

0 komentar:

Langganan: Posting Komentar (Atom)